Stellenwertsystem
Das Dezimalsystem ist das gängige System, das bei uns im Alltag verwendet wird. Alle natürlichen Zahlen, mit denen wir rechnen, sind in dieser Form dargestellt. Man erkennt am unteren Bild, dass jede der drei Zahlen aus den gleichen Ziffern besteht.
Zahlen bestehen aus Ziffern. Die Zahlen, die wir bisher kennengelernt haben, können aus den Ziffern von 0 bis 9 gebildet werden. Wir rechnen im Zehnersystem, das auch Dezimalsystem genannt wird.
Das System heißt Zehnersystem (Dezimalsystem), da in diesem System zehn Ziffern zur Verfügung stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen dieses Systems nennen wir Dezimalzahlen.
Obwohl die gleichen Ziffern auftauchen, ergeben sich insgesamt drei verschiedene natürliche Zahlen. Denn: Der Wert einer Ziffer wird durch die Stelle (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender…) bestimmt, an der die Zahl steht. Nachdem dies beim Dezimalsystem immer der Fall ist, handelt es sich um ein Stellenwertsystem.
Dezimalsystem
Das Dezimalsystem ist das am weitesten verbreitete Stellenwertsystem und verwendet zehn Ziffern von 0 bis 9. Jede Ziffer hat einen bestimmten Wert, der von ihrer Position im Zahlensystem abhängt.
Zum Beispiel: Die Zahl 127 besteht aus den Ziffern 1, 2 und 7. Dargestellt wird sie als 12710 = 1·102 + 2·101 + 7·100 = 100 + 20 + 7 = 127.
Binärsystem
Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem mit nur zwei Ziffern: 0 und 1. Es wird in der Computertechnik verwendet, da digitale Schaltungen leicht zwischen "Ein" und "Aus" unterscheiden können.
Beispiel: 101102 = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 1·21 + 0·20 = 22.
Beispiel: Binärzahl → Dezimalzahl
Beispiel: Dezimalzahl 19010 → Binär
Addition von Binärzahlen
Eine Binärzahl besteht nur aus 0 und 1. Folgende Additionsregeln gelten:
Beispiel: 10012 + 1002
Beispiel mit Übertrag: 11002 + 11012
Weiteres Beispiel: 10012 + 11112
Überprüfung der Addition
Binär: 1001 + 1111 = 11000
10012 = 910, 11112 = 1510, 110002 = 2410 → 9 + 15 = 24 ✔️
Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem verwendet 16 Ziffern: 0–9 und A–F.
Beispiel: 1A316 = 1·162 + 10·161 + 3·160 = 256 + 160 + 3 = 419
Video zur Hexadezimal-Umrechnung: hier
Warum Hexadezimalzahlen in der Informatik?
- Übersichtlicher: Längere Binärzahlen lassen sich in Hex kompakter und fehlerfreier darstellen.
- Lesbarer für Menschen: 0xFA ist einfacher als 11111010.
- Standard in Webdesign: Farben (z. B.
#FF0000) oder Maschinencode verwenden Hex. - 1 Hex-Ziffer = 4 Bit: Die Umrechnung zwischen Binär und Hex ist direkt möglich.
- Praktisch beim Debugging: In Tools wie Hex-Editoren oder Assemblern ist Hex der Standard.
Fazit: Hexadezimalzahlen sind eine Brücke zwischen der für Menschen schwer lesbaren Binärwelt und praktischer Programmierung.